Как найти такое число?

Найти число, которое делится нацело на 2^2015 и в десятичной записи которого нет ни одного нуля.

Как такое решать?

5 2020-01-14 02:02:03

Ответов: 3

К числу 2 можно на разряд левее приписать цифру, отличную от нуля, чтобы это число делилось на 2^2, например 12:4=3. К получившемуся числу также можно приписать ненулевую цифру, чтобы оно делилось на 2^3, например 112:2^3=14.Теперь покажем, что такую операцию мы можем продолжать до бесконечности( в нашем случае, до 2015-ой степени), что найдётся число X, записанное y разрядами, что 2^y=X. Мы доказали, что для фиксированного y=n число X=(2^n)*z найдено. Покажем что X можно построить и при y=n+1. При приписывании на разряд левее цифры m число имеет вид M = m*(10^n)+X= m*(2^n)*(5^n)+(2^n)*z = 2^n*(m*(5^n)+z). Рассмотрим число m*(5^n)+z при m =1;2. При различных значениях m m1*(5^n)+z и m2*(5^n)+z имеют разные остатки(0 и 1), поскольку в противном случае их разность (m2-m1)*(5^n) делилась бы на 2 без остатка, что неверно, поскольку 5^n всегда оканчивается на 5, т.е.нечётно, m2-m1=1-нечётно, а при произведении двух нечётных чисел произведение всегда нечётно. Следовательно, среди чисел m1 и m2 всегда имеется число, при подстановке которого на разряд левее в X, получится число M, всегда делящееся на 2^n+1. Таким образом, продолжая этот процесс до подстановки 2015-ой цифры, мы получим требуемое число.

Докажем, что существует число Q, что в десятичной записи числа Q*2^2015 нет ни одного нуля. (запись 2^2015 означает 2 в степени 2015).


Запишем приведенное выражение, как Qn*2^n = Nn, где Qn и Nn - натуральные числа.

Докажем утверждение, что всегда найдется число из n цифр Nn, в записи которого встречаются только единицы и двойки, которое делится на 2^n.

Доказательство проведем по индукции.

  1. n = 1. N1 = 2 - делится на 2^1 = 2.
  2. Пусть мы построили число Nn = Qn*2^n. То есть Nn делится на 2^n. Припишем к этому числу Nn слева 1 или 2. Рассмотрим оба получившихся числа:

10^n + Nn = 10^n + Qn*2^n = 2^n*(5^n + Qn)

2*10^n + Nn = 2*10^n + Qn*2^n = 2^n*(2*5^n + Qn)

[Тут мы воспользовались тождеством: 10^n = 5^n*2^n]

Одно из этих чисел делится на 2^(n + 1) = 2^n*2, поскольку одно из чисел (5^n + Qn) и (2*5^n + Qn) чётно. Так как 5^n - нечетно, а 2*5^n - четно и Qn - не известно.

Утверждение доказано.


Теперь сам алгоритм нахождения такого числа.

1 - 2

2 - 12 (приписываем слева 1 или 2, чтобы делилось без остатка на 2^2 = 4, тут подходит 1)

3 - 112

4 - 2112

5 - 22112

.

10 - 1212122112

.

и так далее до 2015. В итоге получится число из 2015 цифр, в записи которого встречаются только 1 или 2 (нет ни одного нуля). Оно будет делиться на 2^2015.

Как мне кажется, на 2^2015 делится любое число из множества:

2^(n+2015), где n>0 и n - целое число.

К примеру 2^2016/2^2015 = 2

Задача усложняется тем, что в числе не должно содержаться нулей.

Думаю, что ответов множество.

Можно найти несколько ответов путём перебора.

Проверить на наличие нулей числа:

2^2016, 2^2017, 2^2018 ...

Пока не найдёте нужное число.

Лучше, конечно, под это написать компьютерную программку.